Label: ,

makalah peluang


MAKALAH
 PELUANG

Logone STTM









Disusun Oleh :

Nama                   : Fajar Budiman                           Nama               : Diki  Zusnadi
NIM                     : S09108002                                NIM                 : S09108001
Program Studi     : S1 Teknik Industri                    Program Studi  : S1 Teknik Industri



SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI MUHAMMADIYAH
KEBUMEN
2011
KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA

1.  KOMBINATORIK
           Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:
1.  Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?
2.  Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila
     r < n?
3.  Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?
Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik
Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.
Contoh:
Untuk Prinsip Penjumlahan
·      Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota.
a.  Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota
        Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub
        ditambahkan.
b.  Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu:
(i)    Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja
(ii)  Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja
(iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis
         Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7
         dan 7, dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53
    Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus

         n ( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B )
·      Untuk Prinsip Perkalian
    Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?
Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota   
    A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara
Soal:
Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8
a.  Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui.
b.  Tuliskan semua bilangan tersebut
c.  Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil

1.1.  Permutasi
     Definisi:
           Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut.



               

     Definisi:
           Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n
           dan 0! = 1
     Sifat 1:
           Banyaknya permutasi dari r unsur ( r £ n ) yang diambil dari  n unsur berbeda  
     adalah : 

     Sifat 2:
           Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-
     masing muncul kali adalah:
     Sifat 3:
           Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!

1.2. Kombinasi
           Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.
       Sifat :
           Kombinasi r unsur ( r £ n ) dari n unsur adalah:
1.3. Binomium Newton
          
Soal:
1.  Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
a.  Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali
b.  Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap
c.  Berapa banyak yang lebih besar dari 330
2.  Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran?
3.  Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk:
a.  tanpa pembatasan?
b.  dengan dua pria dan seorang wanita?
c.  dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia?
4. Tentukan koefisien dari (2x - 3)


2. PELUANG

2.1. Pendahuluan
            Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.

2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan
Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “
Contoh:
1.  Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:
     S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2.  Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam
     S = { Angka, Gambar } atau  S = { A, G }
     S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.
Contoh:
1.  Pada percobaan melempar sebuah dadu.
     a.  Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:
         A = { 2, 4, 6 }
b.  Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:
         B = { 2, 3, 5 }
c.  Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:
         C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
2.  Pada percobaan melempar dua mata uang logam.
a.  Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:
          P = { AA }
b.  Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:
          Q = { AG, GA }

Latihan 1:
1.  Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan:
a.  Ruang Sampel S
b.  Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar
c.  Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar
2.  Jika 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan:
a.  Ruang Sampel S
b.  Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7
c.  Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2


 2.3. Peluang Suatu Kejadian
Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif
Contoh:
1.  Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka =
2.  Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap
    lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28
    kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.

 


    


Latihan 2:
Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !
1.  Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali
     Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!
2.  Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif
a.  munculnya mata dadu bilangan prima
b.  munculnya mata dadu 5
c.  munculnya mata dadu 2

Menghitung Peluang Secara Klasik
Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar =  
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }
banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam: p =   
Jadi, p = 

Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.
a.  Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol
b.  Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu
c.  Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1
d.  Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B = Æ, maka
                P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )
e.  Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B ¹ Æ, maka
                P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )


Soal:
1.  Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:

     Muncul
mata dadu
 1
  2
  3
  4        
   5     
  6
Frekuensi
 14
 17
  20
  18
   15
16

   
     Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3
a.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1
b.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu  bilangan genap
c.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu  bilangan prima
2.  Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang
3.  Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang:
a.  Jumlah mata dadu yang muncul 7
b.  Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3
c.  Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5

2.4. Kejadian Majemuk
       Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B = Æ,
                    maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )
       Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B ¹ Æ,
                    maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )

2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian
       Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )

2.6. Kejadian Bersyarat
       Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat
                     yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu
                     atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) =    atau 
                     P(A Ç B) = P(A). P(B/A)

2.7. Kejadian Saling Bebas
       Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika
                     P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Soal:
1.  Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah
     peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat?
2.  Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang
a.  kamus terpilih?
b.  dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih?
3.  Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?
4.  Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:
a.  P(A È B)
b.  P(A’)
c.  P(A’ Ç B)
5.  Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5?

3. STATISTIKA
     Pengertian Statistika dan Statistik
     Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika
     terdiri dari dua kegiatan:
a.  Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.
b.  Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.
Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika Inferensial.
Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik.
Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik.
3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data
        Definisi:
        Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan dari datum-datum.

3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas)
        Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan.
        Jika n ganjil, maka  merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah datum yang ke , sedangkan jika n ganjil, maka median adalah
         

Contoh:
Tentukan statistik lima serangkai dari data:
79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76
Jawab:
Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100
Ukuran terkecil   : 53
Ukuran terbesar : 100
Kuartil 1 (Q1)      :
Median                : 79
Kuartil 3 (Q3)      :  

3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga
        Rataan Kuartil =
        Rataan Tiga    =

3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar.
        Definisi:
·               Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai      
                 maksimum dan nilai minimum dari data.
                 J =
·               Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.
H =  , Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan
·               Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:
L = 1,5 x H
·               Pagar Dalam dan Pagar Luar
                Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai kuartil bawah  dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas
                PD = - L    dan     PL =  + L

3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram
        Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya:
a.  Diagram Kotak Garis
b.  Diagram Batang Daun
c.  Diagram Batang
d.  Diagram Garis
e.  Diagram Lingkaran

3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, Histogram
        Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive
·      Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.
·      Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100%
·      Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya.
·      Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.
·      Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram
·      Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

3.7. Data Statistika Deskriptif
        Ukuran-ukuran Tendensi Sentral
·      Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan Rataan Kuadratis
            Rataan Hitung
            Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:
           , rataan hitung adalah
            atau
    
           Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi
          

           Rataan Geometris
           Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan geometris
           dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:
         
           Rataan Harmonis
           Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan harmonis
           dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi
          
            Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis
            Misalkan diketahui data  bilangan-bilangan positif. Rataan
            geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau
            sama dengan rataan harmonis
            Jadi:  h  £  g  £
        
            Rataan Kuadratis
            Misalkan data terdiri atas . Rataan kuadratis dinyatakan
            oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau

           

        Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil
        Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.
        Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi
        Nilai Modus :
        L = batas bawah limit kelas modus
       = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
       = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
        c  = panjang kelas modus
        Median data dalam daftar distribusi frekuensi
        Median ( M 
        L = batas bawah limit kelas median
        n = ukuran data
        frekuensi kumulatif sebelum kelas median
        f   = frekuensi kelas median
        c  = panjang kelas median

        Kuartil, Desil dan Persentil
        Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke , i =1, 2, 3
        Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1)
        Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median
        Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3)

        Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi
        Kuartil (Qi) =   dimana i = 1, 2, 3
      
         L = batas bawah limit kelas Qi
        n = ukuran data
        frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi
        f   = frekuensi kelas Qi
        c  = panjang kelas Qi

        Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu
        Desil nilai data yang ke  Persentil nilai data yang ke

3.8. Ukuran Penyebaran Data
        Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah
a.  Simpangan Rata-rata
b.  Ragam (Variansi) dan Simpangan baku
c.  Koefisien Keragaman
d.  Angka Baku

a.  Simpangan Rata-rata
     Definisi:
     Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka simpangan rata-rata    
     SR =, dimana  = rataan hitung dan n = ukuran data

     
        Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah
        SR = , dimana

        n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan =  frekuensi kelas ke i
        dan  titik tengah kelas ke i

        Ragam (Variansi) dan Simpangan baku
        Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka ragam (variansi)
        adalah:
      
       


        sedangkan simpangan baku adalah
                    

        Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah
                     
        sedangkan simpangan baku adalah
          , dimana  frekuensi kelas ke i dan
                                                                           titik tengah kelas ke i
       
        Koefisien Keragaman
        Koefisien Keragaman (V) =
        Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen:
                                             V =
       
        Angka Baku
        Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung   
        dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh

                                            




1 komentar :

Terima kasih sudah mau berkunjung ke blog dfajarbacktonature,silahkan bagi sahabat blog yang kurang puas dengan postingan, sahabat blog bisa meninggalkan komentar.Untuk sahabat blog yang baik pasti meninggalkan komentar.
Terima kasih.... Happy Blogging :)

 
HC © 2012 | Designed by Canvas Art , in collaboration with Business Listings , Radio stations and Corporate Office Headquarters