makalah peluang

MAKALAH

 PELUANG

Disusun Oleh :

Nama                   : Fajar Budiman                           Nama               : Diki  Zusnadi

NIM                     : S09108002                                NIM                 : S09108001

Program Studi     : S1 Teknik Industri                    Program Studi  : S1 Teknik Industri

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI MUHAMMADIYAH

KEBUMEN

2011

KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA

1.  KOMBINATORIK

           Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:

1.  Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?

2.  Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila

     r < n?

3.  Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?

Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik

Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.

Contoh:

Untuk Prinsip Penjumlahan

·      Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota.

a.  Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota

        Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub

        ditambahkan.

b.  Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu:

(i)    Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja

(ii)  Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja

(iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis

         Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7

         dan 7, dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53

    Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus

         n ( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B )

·      Untuk Prinsip Perkalian

    Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?

Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota   

    A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara

Soal:

Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8

a.  Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui.

b.  Tuliskan semua bilangan tersebut

c.  Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil

1.1.  Permutasi

     Definisi:

           Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut.

               

     Definisi:

           Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n

           dan 0! = 1

     Sifat 1:

           Banyaknya permutasi dari r unsur ( r £ n ) yang diambil dari  n unsur berbeda  

     adalah : 

     Sifat 2:

           Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-

     masing muncul kali adalah:

     Sifat 3:

           Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!

1.2. Kombinasi

           Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.

       Sifat :

           Kombinasi r unsur ( r £ n ) dari n unsur adalah:

1.3. Binomium Newton

          

Soal:

1.  Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

a.  Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali

b.  Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap

c.  Berapa banyak yang lebih besar dari 330

2.  Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran?

3.  Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk:

a.  tanpa pembatasan?

b.  dengan dua pria dan seorang wanita?

c.  dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia?

4. Tentukan koefisien dari (2x - 3)

2. PELUANG

2.1. Pendahuluan

            Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.

Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.

2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan

Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “

Contoh:

1.  Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:

     S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2.  Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam

     S = { Angka, Gambar } atau  S = { A, G }

     S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.

Contoh:

1.  Pada percobaan melempar sebuah dadu.

     a.  Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:

         A = { 2, 4, 6 }

b.  Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:

         B = { 2, 3, 5 }

c.  Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:

         C = { 1, 2, 3, 4, 6 }

2.  Pada percobaan melempar dua mata uang logam.

a.  Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:

          P = { AA }

b.  Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:

          Q = { AG, GA }

Latihan 1:

1.  Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan:

a.  Ruang Sampel S

b.  Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar

c.  Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar

2.  Jika 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan:

a.  Ruang Sampel S

b.  Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7

c.  Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2

 2.3. Peluang Suatu Kejadian

Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif

Contoh:

1.  Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka =

2.  Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap

    lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28

    kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.

 

    

Latihan 2:

Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !

1.  Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali

     Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!

2.  Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif

a.  munculnya mata dadu bilangan prima

b.  munculnya mata dadu 5

c.  munculnya mata dadu 2

Menghitung Peluang Secara Klasik

Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar =  

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }

banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam: p =   

Jadi, p = 

Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.

a.  Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol

b.  Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu

c.  Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1

d.  Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B = Æ, maka

                P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )

e.  Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B ¹ Æ, maka

                P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )

Soal:

1.  Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:

Muncul mata dadu	1	2	3	4	5	6
Frekuensi	14	17	20	18	15	16

   

     Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3

a.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1

b.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu  bilangan genap

c.  Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu  bilangan prima

2.  Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang

3.  Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang:

a.  Jumlah mata dadu yang muncul 7

b.  Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3

c.  Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5

2.4. Kejadian Majemuk

       Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B = Æ,

                    maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )

       Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B ¹ Æ,

                    maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )

2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian

       Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )

2.6. Kejadian Bersyarat

       Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat

                     yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu

                     atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) =    atau 

                     P(A Ç B) = P(A). P(B/A)

2.7. Kejadian Saling Bebas

       Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika

                     P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Soal:

1.  Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah

     peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat?

2.  Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang

a.  kamus terpilih?

b.  dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih?

3.  Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?

4.  Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:

a.  P(A È B)

b.  P(A’)

c.  P(A’ Ç B)

5.  Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5?

3. STATISTIKA

     Pengertian Statistika dan Statistik

     Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika

     terdiri dari dua kegiatan:

a.  Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.

b.  Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.

Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika Inferensial.

Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik.

Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik.

3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data

        Definisi:

        Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan dari datum-datum.

3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas)

        Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan.

        Jika n ganjil, maka  merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah datum yang ke , sedangkan jika n ganjil, maka median adalah

         

Contoh:

Tentukan statistik lima serangkai dari data:

79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76

Jawab:

Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100

Ukuran terkecil   : 53

Ukuran terbesar : 100

Kuartil 1 (Q1)      :

Median                : 79

Kuartil 3 (Q3)      :  

3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga

        Rataan Kuartil =

        Rataan Tiga    =

3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar.

        Definisi:

·               Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai      

                 maksimum dan nilai minimum dari data.

                 J =

·               Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

H =  , Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan

·               Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:

L = 1,5 x H

·               Pagar Dalam dan Pagar Luar

                Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai kuartil bawah  dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas

                PD = - L    dan     PL =  + L

3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram

        Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya:

a.  Diagram Kotak Garis

b.  Diagram Batang Daun

c.  Diagram Batang

d.  Diagram Garis

e.  Diagram Lingkaran

3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, Histogram

        Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive

·      Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.

·      Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100%

·      Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya.

·      Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.

·      Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram

·      Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

3.7. Data Statistika Deskriptif

        Ukuran-ukuran Tendensi Sentral

·      Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan Rataan Kuadratis

            Rataan Hitung

            Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:

           , rataan hitung adalah

            atau

    

           Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

          

           Rataan Geometris

           Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan geometris

           dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:

         

           Rataan Harmonis

           Misalkan data bernilai positif terdiri atas . Rataan harmonis

           dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi

          

            Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis

            Misalkan diketahui data  bilangan-bilangan positif. Rataan

            geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau

            sama dengan rataan harmonis

            Jadi:  h  £  g  £

        

            Rataan Kuadratis

            Misalkan data terdiri atas . Rataan kuadratis dinyatakan

            oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau

           

        Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil

        Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.

        Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi

        Nilai Modus :

        L = batas bawah limit kelas modus

       = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

       = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

        c  = panjang kelas modus

        Median data dalam daftar distribusi frekuensi

        Median ( M 

        L = batas bawah limit kelas median

        n = ukuran data

        frekuensi kumulatif sebelum kelas median

        f   = frekuensi kelas median

        c  = panjang kelas median

        Kuartil, Desil dan Persentil

        Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke , i =1, 2, 3

        Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1)

        Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median

        Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3)

        Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

        Kuartil (Qi) =   dimana i = 1, 2, 3

      

         L = batas bawah limit kelas Qi

        n = ukuran data

        frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

        f   = frekuensi kelas Qi

        c  = panjang kelas Qi

        Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu

        Desil nilai data yang ke  Persentil nilai data yang ke

3.8. Ukuran Penyebaran Data

        Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah

a.  Simpangan Rata-rata

b.  Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

c.  Koefisien Keragaman

d.  Angka Baku

a.  Simpangan Rata-rata

     Definisi:

     Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka simpangan rata-rata    

     SR =, dimana  = rataan hitung dan n = ukuran data

     

        Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah

        SR = , dimana

        n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan =  frekuensi kelas ke i

        dan  titik tengah kelas ke i

        Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

        Misalkan nilai-nilai data tunggal: , maka ragam (variansi)

        adalah:

      

       

        sedangkan simpangan baku adalah

                    

        Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah

                     

        sedangkan simpangan baku adalah

          , dimana  frekuensi kelas ke i dan

                                                                           titik tengah kelas ke i

       

        Koefisien Keragaman

        Koefisien Keragaman (V) =

        Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen:

                                             V =

       

        Angka Baku

        Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung   

        dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh